что делать, если у меня "А" категория? Могу попроситься в определенную часть?

Могу ли я с такой категорией попросится туда, куда я хочу? в определенную часть

К сожалению, самостоятельно выбрать род войск и часть - нельзя.

Согласно п.14 Положения о призыве на военную службу граждан РФ, 
решение о предназначении призывника в вид, род войск Вооруженных Сил Российской Федерации, другие войска, воинские формирования и органы для прохождения военной службы по военно-учетным специальностям на воинских должностях принимается призывной комиссией большинством голосов на основе результатов медицинского освидетельствования, данных профессионального психологического отбора, образовательной и специальной (профессиональной) подготовки, а также предложения военного комиссара о предварительном предназначении призывника. При этом учитывается также потребность в накоплении военных специалистов в запасе для комплектования войск по мобилизационному плану. 

Но Вы можете повлиять на выбор части.
Подробнее смотрите: как выбрать род войск (на примере ВДВ)