В данном случае все зависит от того были ли Вы зачислены в запас решением призывной комиссии муниципального образования. И было ли утверждено данное решение Призывной комиссией субъекта РФ - вышестоящая призывная комиссия.
Если были зачислены в запас (и решение было утверждено вышестоящей призывной комиссией), то советую запросить копию решения призывной комиссии и обжаловать ее в суде.
Если решение еще не утверждено, то необходимо действовать через жалобу в вышестоящую призывную комиссию.
Приведенные Вам советы выше - в силе.
Могу я его забрать и попробывать призваться через другой военкомат?
Если не числитесь в запасе, то можете.